El péndulo simple se construye colocando una masa m en el extremo de una cuerda/varilla de longitud L con masa despreciable. Cuando el péndulo se encuentra en reposo, en vertical, permanece en equilibrio debido a que las fuerza de peso y tensión de la cuerda se igualan a 0.
Cuando se separa de la posición de equilibrio es sistema comienza a oscilar en el plano vertical y la tensión solo contrarresta la componente normal del peso, siendo la componente tangencial del peso la fuerza resultante:
Pt=-m*g*sin(θ)
Pt: Peso tangencial
m: masa
g: gravedad
θ: theta, ángulo formado con la vertical
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varia con la posición angular θ, su valor máximo se alcanza cuando θ=0 y la tensión se iguala con el peso T=P=m*g. Y su valor mínimo cuando la amplitud es máxima y la velocidad es nula.
La ley de Newton para la rotación plana establece que la fuerza que devuelve el sistema a la posición de equilibrio es Pt y la aceleración del péndulo es proporcional es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario obteniendo:
ap=-(g/L)*x
ap: aceleración del péndulo
g: gravedad
L: longitud de la cuerda
x separación en el eje horizontal entre el péndulo y la vertical.
Cuando el péndulo oscila con amplitudes superiores a 10º, el ángulo no puede calcularse utilizando simples funciones trigonométricas, para ello debemos calcular la ecuación de movimiento atendiendo a:
La aceleración de la masa es at=dv/dt
Aplicando la segunda ley de Newton m*at=m*g*sin(θ)
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular α es at=α*l. Obteniendo la ecuación diferencial del movimiento:
d2 θ / dt2 = -(g/L) sin(θ)
Cuando el ángulo que forma el péndulo con la vertical, θ, es pequeño, inferior a 10º, entonces θ ~ sin(θ) y el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es
θ=θ0*sin(ω*t+φ)
Por tanto la frecuencia angular,con ω= 2πf, para este movimiento de ángulo pequeño es ω= (g/L)1/2 o de periodo P=2π(L/g)1/2
Principio de conservación de la energía
En la posición θ=θ0 el péndulo solo tiene energía potencial, y se transforma en energía cinética a medida que se acerca a la posición vertical de equilibrio estático.
Para θ=θ0 , E=Ep=m*g*(L-L*cosθ0)
Para un ángulo θ el péndulo tiene parte de energía potencial y energía cinética, E=Ec+Ep=1/2*m*v2 + m*g*(L-L*cosθ)